Wykaż,że jeśli x+y+z = 0 to xy + yz + zx ≤ 0 Paweł: Wykaż,że jeśli x+y+z = 0 to xy + yz + zx ≤ 0 Prosiłbym o podpowiedź , a nie rozwiązanie. Próbowałem wyciąganie przed nawias itp. ale nic nie mogę znaleźć.Nie mam za bardzo pomysłu do tego... Może macie jakieś rady na przyszłość do takich zadań

Godzio: Podpowiedź pomnóż to: x + y + z = 0 przez x lub y lub z dalej już wszystko widać

think:

	1		1		1		1		1		1
xy + yz + zx =		xy +		yz +		xy +		zx +		yz +		zx ≤ 0
	2		2		2		2		2		2

teraz powyciągaj przed nawias części wspólne dla kolejnych par a później skorzystaj z założenia: x + y + z = 0 ⇒ x + y = −z v x + z = −y v y + z = −x

Paweł: Godzio pomnożyłem przez x i jest coś takiego: x(x+y+z) = 0 x² +yx + zx = 0 yx + zx = −x² yz − x²=0 i dalej nie wiem co z tym

Godzio: i teraz zastąp yz podobnie i powinieneś coś zobaczyć

Godzio: yz − x² ≤ 0

Paweł: Sekunda

Paweł: −(x+y)² ≤ 0

Godzio: no nie do końca bo brakuje Ci 2 −x² − xy − y² ≤ 0 x² + xy + y² ≥ 0 − i teraz x albo y można potraktować jako parametr i liczyć deltę

think: no to ja dokończę moją propozycję...

1		1		1
	y(x + z) +		x(y + z) +		z(x + y) ≤ 0
2		2		2

teraz x + z = −y; y + z = −x; x + y = −z

1		1		1
	y(−y) +		x(−x) +		z(−z) ≤ 0 a tu to chyba już widać wszystko
2		2		2

Godzio: Zależy jak kto woli

think: a co sobie będę żałować

Godzio: To ja dokończę swoją myśl x² + xy + y² ≥ 0 − y traktuje jako parametr Δ = y² − 4y² = −3y² < 0 dla y ∊ R więc nierówność jest spełniona c. n. d.

Paweł: A co tutaj x² +xy + y² traktujesz jako : a? b? i c? żeby wyliczyć deltę

Godzio: ax² + bx + c a = 1 b = y c = y² y potraktowałem jako parametr

Paweł: Godzia sposób łatwiejszy

Paweł: A mam jeszcze pytanie jak zapisać symbolicznie dwie różne liczby dodatnie ?

Paweł: n² + 1 i n² +2 − to są dwie różne liczby dodatnie?

Godzio: nie za bardzo się da możesz je określić tylko np n ∊ R₊ ale zapisać się nie da

Godzio: ano tak można

Paweł: Bo mam kolejne... Wykaż ,że suma sześcianów dwóch różnych liczb dodatnich jest większa od iloczynu ich sumy i ich iloczynu. Dlatego pytam to tak zapisać jak mam czy pasowałoby jakoś inaczej?

think: lub k, m ∊ R₊ takie że k ≠ m lub k − m ≠ 0

	k
lub		≠ 1
	m

można nakombinować ile wlezie

Godzio: ale nie trzeba tego aż tak po prostu założenie n ∊ R₊ i k ∊ R₊ n³ + k³ > (k + n)* k*n

think: luzik k³ + m³ > km(k+m) k³ − k²m + m³ − km² > 0 k²(k − m) + m²(m − k) > 0 k²(k − m) − m²(k − m) > 0 (k² − m²)(k − m) > 0 (k − m)(k + m)(k − m) > 0 (k − m)²(k +m) > 0 co jest prawdą w jednym z proponowanych zapisów pojawiło się, że k − m ≠ 0 więc nawet gdy różnica jest ujemna podniesiona do kwadratu już jest dodatnia, a suma dwóch liczb dodatnich jest dodatnia, iloczyn liczb dodatnich jest > 0 czyli git

Paweł: Wyszło zanim zajrzałem Te było jeszcze do zrobienia

think: nom fajne zadanka.

Paweł: Mam pytanie co do takiego: Uzasadnij ,że dla każdej liczby x∊(−1;5) wyrażenie √4x² +12x + 9 +2√x² −12x +36. √(2x+3)² +√2(x−6)² 2x+3+2x−12=4x−9 i co z tym ?

Paweł: wyrażenie... ma stałą wartość (zapomniałem dodać )

Paweł: i tą 2 źle wpisałem pod pierwiastek powinna być przed nim

Paweł: Podstawić liczbę z przedziału (−1;5) za 4x −9 i wyjdzie stała liczba?

Godzio: Pamiętaj: √a² = |a| √4x² + 12x + 9 + 2√x² − 12x + 36 = √(2x + 3)² + 2√(x−6)² = |2x + 3| + 2|x − 6| i teraz przypadki rozpatrz chyba powinno być dobrze

think: |2x + 3| + 2|x − 6| takie coś masz rozpatrzyć...

Godzio: Te przypadki jednak zbędne ... = |2x + 3| + 2|x − 6| widać że przedział (−1,5) |2x + 3| > 0 , a |x − 6| < 0 więc trzeba to zapisać tak: 2x + 3 − x + 6 = 9

think: 2x + 3 − 2x + 12 = 15

Godzio: no tak tak 2 mi uciekła

think: dobra idę spać

Basia: Godziu zlituj się |x−6|<0 wiem co chciałeś napisać, ale pisać też trzeba porzadnie i poprawnie

Godzio: Dobranoc

Godzio: Basia przeczytaj linijkę powyżej

think: no ja uciekam zanim Basia dopadnie moje posty

Godzio: miał być "że w przedziale (−1,5) ... " sorki za nie dopatrzenie ale Paweł chyba wie o co chodzi

Godzio: a dobra już się skompromitowałem bez znaku bezwzględności

Basia: dla x∊(−1,5) x−6<0 ⇒ |x−6|=−x+6 tak ma być Godziu idź spać ! Przecież dobrze wiesz, że |....| jest zawsze ≥0

Godzio: Więc: Widać że w przedziale (−1,5): 2x + 3 > 0, a x − 6 < 0 więc: |2x + 3| + 2|x − 6| = 2x + 3 − 2x + 12 = 15 kropka

Godzio: no już mi oczy się zamykają, także też już idę Dobranoc

Basia: Dobranoc, słodkich snów

Paweł: Wiem wiem

Paweł: Dobranoc wam

Paweł: Wykaż,że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest liczbą podzielną przez 8. Nie wiem czy dobrze? (2n−1)²−(2n+1)²= 4n²−4n+1−4n²−4n−1=−8n=8*(−n) Liczba jest podzielna przez 8?

Basia: dobrze; liczba postaci 8*k gdzie k − dowolna liczba całkowita jest podzielna przez 8 Twoje k= −n mogłeś tez liczyć (2n+1)²−(2n−1)² = 8*n

Basia: w zadaniu 1 można też tak: x+y+z=0 ⇒ (x+y+z)²=0²=0 ⇒ x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=0 ⇒ 2xy+2xz+2yz = −x²−y²−z² = −(x²+y²+z²) ≤ 0 /:2 ⇒ xy+xz+yz ≤ 0 c.b.d.o.

domino: 1/ x+y+z=0 xy+xz+yz ≤0 /*2 2xy+2xz+2yz ≤0 ( x+y+z)²−x²−y²−z²≤0 0 ≤x²+y²+z² c.n.u.

Basia: To jest dowód twierdzenia: Jeżeli x+y+z=0 i xy+xz+yz≤0 to x²+y²+z²≥0 (a tego raczej nie trzeba dowodzić). Ten sposób jest dobry, ale dla dowodu nie wprost. x+y+z=0 i przypuśćmy, że xy+xz+yz>0 ........................... x²+y²+z²<0 sprzeczność tak to jest jeśli chcemy być w zgodzie z logiką formalna Godzio nagminnie popełnia ten "grzeszek", ale domino powinna być bardziej rygorystyczna, prawda Eto ?

Zawisza: A jeśli zrobiłem to tak: xy +yz+ xz <0 , z= − x − y xy + y(−x−y) + x(−x−y) <0 xy − xy − y² − x² − xy < 0 y² − xY2 − xy <0 −1(x+y)² − xy<0 −1(x+y)² < xy Napisałem komentarz ze w tym przypadku pomnożony przez −1 kwadrat sumy tych liczb będzie zawsze mneijszy od tych liczb. Dobrze czy nie mam co liczyć na punkty?

Zawisza: Ps: zadanie było dzisiaj na maturze, sorki za odnowienie tematu.

szuri: ja zrobiłam to tak, ale też nie wiem czy dobrze: x+y+z=0 ⇒ (x+y+z)² =0 ⇒ x² + y² + z² +2xy+2xz+2zy=0 i teraz do równania: xy+zx+zy≤0 pod zero wstawiłam to co tam u góry, czyli xy+zx+zy≤ x² + y² + z² + 2zx + 2zy + 2xy 0≤ x² + y² +xy + z² +zx+zy 0≤ (x+y)² − xy + z(z+x+y) 0≤ (x+y)² − xy co jest chyba zawsze prawdą, nie?

Xolt: Witajcie, mam problem z zadaniem Wykaż, że kwadrat liczby naturalnej jest postaci 3/c albo 3k +1, gdy k e C. Dzieki za pomoc